Frågor om fysik och matematik

[Cronopio]

Du är inte bara fysiskt kunnig, min gode man, du är poetiskt lagd också!

[Fanatiker]

Ursprungligen postat av pembleton

[Anpassat från ett tidigare inlägg]

Man går i ett antal steg.

1. Antag att varje dynamisk variabel motsvaras av en linjär operator (och de möjliga värdena för variabeln ges av egenvärdena). Detta är ett av kvantmekanikens postulat.
   
2. Transformationer som motsvarar symmetrier i rumstiden (Galilei-gruppen) ges av exponentialen av en Hermitisk generator, exp(isK) där s är en parameter. För förskjutning med a i rummet (längs en axel) skriver vi exp(-iaP). Detta kan vi visa.
   
3. Vi utvärderar kommutatorerna mellan olika generatorer genom att använda de relevanta transformationerna.
   
4. Vi tittar på ex. dynamiken för en fri partikel och antar att vi har någon okänd positionsoperator och bestämmer kommutatorerna med våra symmetrioperatorer (ex. P). Man kan då härleda att generatorerna för förskjutningar i rummet, i tiden och för rotationer kan skrivas

   P = MV
   H = ½MV*V
   J = Q × MV

   där M och E0 bara är "okända" konstanter vars namn vi valt för "framtiden", och V är hastighetsoperatorn som uppfyller d/dt<Q> = <V>. Det är väl det här som är den viktiga punkten i din fråga - nämligen att den operator som ger förskjutningar i rummet "ser ut som" en rörelsemängdsoperator.
   
5. Vi ser att P, H och J ser ut som rörelsemängden, energin och rörelsemängdsmomentet men M är okänd så det vi antar är att de är proportionella mot de kända storheterna

   M / massa = P / rörelsemängd = H / energi = J / rörelsemängdsmoment = okänd konstant = hbar

   .
6. Här introducerar vi alltså Plancks konstant som måste bestämmas genom experiment.
   
7. Vi skriver om storheterna så P → P / hbar.

Säg nu att du vill veta hur rörelsemängdsoperatorn ser ut. I koordinatrepresentation så väljer man egenvektorerna för positionsoperatorn som bas för att representera den allmänna vektorn |ψ>. Expansionskoefficienterna i denna bas är <x|ψ> så att funktionen skrivs ∑<x|ψ>|x>. Vi kan nu skriva <x|ψ> = ψ(x) och kalla detta för vågfunktionen och säga att vektorrummet består av dessa funktioner ψ(x). Hur definierar man en operators verkan på vågfunktionen? Jo, genom dess verkan på expansionskoefficienterna

Aψ(x) = <x|A|ψ>.

Rörelsmängsoperatorn definieras av att den är generatorn för rumsförskjutningar enligt

exp(-ia*P/hbar)|x> = |x+a>

Konstanten betraktas här som "okänd". Vi har

<x+a|ψ> = <x|exp(-ia*P/hbar)|ψ> = <x|1+ia*P/hbar)|ψ> + O(a²)

Ersätt nu med vågfunktionerna så fås

ψ(x+a) = ψ(x) +ia*P/hbar ψ(x) + O(a²)

Om du nu jämför med Taylorexpansionen av ψ(x+a) i a

ψ(x+a) = ψ(x) + a*div ψ(x) + O(a²)

så ser man att

ia*P/hbar = a*div (tänk på div som "nabla")

eller

P = -i hbar div.

Jag hade inte förklarat det bättre själv.

[Hundkatträv]

Jättetack för svaret Pembleton, uppskattar det verkligen.
Tror nog det är steg 2 som jag hänger upp mig på. Vilken mattekurs har man sovit för mycket på om man missat beviset till detta?

[pembleton]

Ursprungligen postat av Hundkatträv

Jättetack för svaret Pembleton, uppskattar det verkligen.
Tror nog det är steg 2 som jag hänger upp mig på. Vilken mattekurs har man sovit för mycket på om man missat beviset till detta?

När vi går från ett referenssystem till ett annat så transformeras tillståndsvektorer och operatorer men egenvärdena måste vara lika eftersom vi bara bytt referenssystem, alltså

A|φ_n> = a|φ_n> ⇒ A'|φ_n'> = a|φ_n'>.

Antag nu att en tillståndsvektor utvecklas i basen ovan

|ψ> = ∑c_n*|φ_n>

så att

|ψ'> = ∑c_n'*|φ_n'>

Eftersom |<φ_n|ψ>|² = |c_n|² och |<φ_n'|ψ'>|² = |c_n'|² uttrycker sannolikheten för samma händelse måste de vara lika. Wigners sats säger nu att transformationer av denna typ, som bevarar värdet av |<φ_n|ψ>|², kan implementeras av en operator U som är endera linjär eller antilinjär. Alltså endera

<φ_n'|ψ'> = (<φ_n|U*)(U|ψ>) = <φ_n|(U*U)|ψ> = <φ_n|I|ψ> = <φ_n|ψ>

eller

<φ_n'|ψ'> = <φ_n|ψ>*.

Här är * alltså komplexa konjugatet eller Hermitiska konjugatet.

Bara de linjära operationerna kan beskriva de kontinuerliga transformationer vi är intresserade av eftersom dessa alltid har en kvadratrot. Säg att U ger en förflyttning a, då har vi U(a) = U(a/2)U(a/2). Applicera denna på ett tillstånd med en term c|φ(x)> och antag att U är antilinjär. Då fås

U(a/2)c|φ(x)> = c*|φ(x+a/2)>

och

U(a)c|φ(x)> = U(a/2)U(a/2) = U(a/2)c*|φ(x+a/2)> = c|φ(x+a)>.

Tydligen är U(a) linjär och då måste givetvis U(a/2) vara linjär vilket ger en motsägelse. U är alltså linjär.

Du kan nu visa genom att stoppa in dina U att operatorer transformeras enligt A' → UAU^(-1).

Nu kommer vi till din egentliga fråga. Antag att U(s) är en kontinuerlig transformation i en variabel. Identitetsoperatorn är U(0) = I och vi har U(s1+s2) = U(s1)U(s2). Det senare är uppenbarligen sant för translationer och rotationer som vi är intresserade av: för att flytta oss sträckan x1+x2 kan vi först flytta oss x1 och sen x2, och för att rotera vinkeln t1+t2 kan vi först rotera t1 och sedan t2.

Nu låter man s bli liten och serieutvecklar U

U = I + s*dU/ds|_{s=0} + Ordo(s²).

Linjäritet kräver att multiplikation med det Hermitiska konjugatet skall ge identitetsoperatorn

UU* = I + s*(dU/ds + dU*/ds)_{s=0} + Ordo(s²)

så alltså måste vi ha

dU/ds = iK med K = K*

så att dU/ds = iK och dU*/ds = -iK och koefficienten framför s försvinner. Det är operatorn K som kallas Hermitiska generatorn för transformationer av typen U.

Titta nu på U(s1 + s2) = U(s1)U(s2) och derivera med avseende på s2 i s2 = 0,

∂U(s1 + s2)/∂s2_{s2=0} = U(s1)dU(s2)/ds2_{s2=0}
⇔
∂U(s)/∂s_{s=s1} = U(s1)iK.

Detta är en enkel diffekvation med lösningen U(s) = exp(iKs). Notera att detta inte bara gäller för små s utan för alla s. Vi använde bara serieutvecklingen för små s för att ge ett villkor på derivatan av U(s) i s = 0 och detta användes sedan helt generellt.

Klart!

Det här anpassade jag från Ballentine.

[Mröff]

Varför blir det ett hål om man dividerar saker med 0.

Bildbevis:

[pembleton]

Plottar man 1/x så divergerar den vid x = 0. Titta på y = -1/|x| exempelvis - ett hål!



Att dela med ex. x²+1 ger inget hål alls, utan en trevlig grop som ingen är rädd för. Se på -1/(x²+1) hur fin den är.

[The Arse of God]

Grillmatematik

Jag har fine-tunat en grill så att den optimala grilltiden är 1 minut per sida per mm tjocklek av köttstycket när grillgallret ligger 8 cm över grillkolen.

|_______| < Gallret ligger ca 8 cm över grillkolen
.\_oooo_/. < Grillkol
__|___|__

Min fråga gäller värmen. Jag antar att värmestrålningen mot grillgallret avtar exponentiellt med höjden från grillkolen, men hur mycket? Och sen så antar jag att grillen är paraboliskt formad längst ned för att reflektera maximalt med värme. Kan du faktorera in det också i en supergrillfunktion? k tnx

[pembleton]

Det där är ett komplext ingenjörsproblem med tanke på den komplexa geometrin, alla de olika värmeöverföringsmekanismerna, beroendet på kolets distribution, etc. Jag letade lite efter studier på temperaturfördelningen i klotgrillar men hitttade inget. Weber borde veta, kanske ska man kontakta dem.

Om vi tar den absolut enklaste modellen och antar att vi har värmestrålning från en oändlig homogen kolbädd och ingen absorption av värmestrålningen i luften, så kommer värmestrålningen vara konstant och oberoende av höjden/avståndet. Det största felet med modellen är att vi antar en oändlig kolbädd vilket ger en plan våg. I själva verket kommer vågfronten böja av och intensiteten minskar som funktion av avståndet.

Låt oss nu ta den näst enklaste modellen: en cirkulär homogen kolbädd med radien r₀ = 15 cm. Antag att intensiteten är I₀ precis vid ytan av kolbädden. Vi vill nu hitta intensiteten på en punkt som ligger centralt över kolbädden på en höjd h. Antag att varje punkt på kolbädden strålar som en halvsfär uppåt (vi antar att det reflekterar perfekt underifrån på något sätt). Titta nu på ett areaelement i kolbädden som ligger på avståndet r från centrum. Avståndet från areaelementet till vår valda punkt är s = √(r² + h²). Den differentiella effekt som avges från areaelementet är dP = I₀dA = I₀rdrdφ i cylindriska koordinater. Denna effekt sprids nu på arean av en halvsfär med radien s så att mottagen differentiell intensitet i den valda punkten är

dI = dP/(2πs²) = I₀(r/(2π(r² + h²)))drdφ.

Total intensitet fås nu genom att integrera från r = 0 till r = r₀ och från φ = 0 till φ = 2π. Eftersom integranden inte beror på φ får man till slut bara en integral i r

I = I₀∫rdr/(h² + r²) = I₀∫(r/h)d(r/h)/(1 + (r/h)²).

Byt integrationsvariabel till x = r/h som alltså går från x = 0 till x = r₀/h.

I = I₀∫xdx/(1 + x²) = I₀½ln(1 + (r₀/h)²).

I denna modell avtar alltså intensiteten som ln(1 + (r₀/h)²). När h är betydligt större än r₀ så har vi ln(1 + (r₀/h)²) ≈ (r₀/h)². Då avtar alltså intensiteten kvadratiskt eftersom vi då kan se kolbädden som en punktkälla. Är vi väldigt nära så är avtagandet mycket långsamt eftersom kolbädden då kan ses som väldigt stor.

[The Arse of God]

Riktigt snygg :)

Men jag vet inte hur rimligt det är i praktiken med perfekt reflekterad värmestrålning. Och faktorn (r₀/h)² känns lite för fluktuerande för reella situationer. Jag vet att det var en del av min kravspec, men den mesta grillvärmen kommer ju från den upphettade luften, inte från själva värmekällan.

Ny uppgift!

Låt oss anta att det gäller en oändlig, homogen kolbädd där luften absorberar i stort sätt all värme. Eller förresten, gör vilka antaganden du vill, men se till att den är praktiskt gångbar. Jag kommer att testa den i praktiken.

Jag vill ha grilltid (T) som en funktion av höjden (h) där T(8) = 1. Gärna i formatet T(h) = k * hª + m. Övriga faktorer är tillåtna, men ska hållas till ett minimum. Den kosmiska bakgrundstrålningen är försumbar.

Formeln ska gälla klotgrillar eldade med kol i normala svenska grillförhållanden. Blir formeln för avancerad så ska den kompletteras med en approximativ formel som kan tillämpas med huvudräkning vid grilltillfället.

[Annan]

Ok här är en approximativ formel; nötkött 3 minuter per sida, fisk 8 minuter per sida, gris och kyckling 12 min per sida. Styckena ska vara 3 cm tjocka.

[pembleton]

Ursprungligen postat av The Arse of God

Men jag vet inte hur rimligt det är i praktiken med perfekt reflekterad värmestrålning. Och faktorn (r₀/h)² känns lite för fluktuerande för reella situationer. Jag vet att det var en del av min kravspec, men den mesta grillvärmen kommer ju från den upphettade luften, inte från själva värmekällan.

När jag googlade lite så påstods faktiskt att strålning var den dominerande värmeöverföringsmekanismen vid grillning men lägger man på locket blir situationen förstås en annan.

Ursprungligen postat av The Arse of God

Låt oss anta att det gäller en oändlig, homogen kolbädd där luften absorberar i stort sätt all värme. Eller förresten, gör vilka antaganden du vill, men se till att den är praktiskt gångbar. Jag kommer att testa den i praktiken.

Jag vill ha grilltid (T) som en funktion av höjden (h) där T( = 1. Gärna i formatet T(h) = k * hª + m. Övriga faktorer är tillåtna, men ska hållas till ett minimum. Den kosmiska bakgrundstrålningen är försumbar.

Formeln ska gälla klotgrillar eldade med kol i normala svenska grillförhållanden. Blir formeln för avancerad så ska den kompletteras med en approximativ formel som kan tillämpas med huvudräkning vid grilltillfället.

T(h) = 1/(n W(n)) ∫_{∂Ω} (f(ζ)/|ζ - h|^(2n)) η(ζ* - h*) ∧ ω(ζ) - 1/(n W(n)) ∫_Ω (∂*f(ζ)/|ζ - h|^(2n)) ∧ η(ζ* - h*) ∧ ω(ζ)

[spettarn]

Köttets färg borde också spela in på grilltiden? Emissitivitet lixom.

Någon som sitter inne på ett värmeledningsvärde för mord? Eller ska man höfta att det är samma som vatten?